Родился 23 июня 1998 года в селе Геметюбе в Дагестане. По национальности ногаец. В 6 лет переехал из Дагестана в Нижневартовск, где проживает по сей день

С восьми лет увлёкся восточными единоборствами. Сначала посещал занятия по кикбоксингу, которым занимался в течение девяти лет. В 2016 году, имея мечту об участии в Олимпийских играх, поменял вид спорта и начал заниматься боксом. Три года его тренировал Руслан Рамисович Куштанов.

В 2017 году на чемпионате России по боксу в первом же поединке Батыргазиев боксировал с бронзовым призёром Олимпиады 2016 года Владимиром Никитиным. Одержал победу и стал чемпионом России. В финале боксировал с Артуром Субханкуловым. Также был признан лучшим боксёром чемпионата.

В 2018 году на Международном турнире по боксу в весовой категории до 60 килограмм, который проходил в Санкт-Петербурге, стал победителем. Позднее занял 2-е место в Первенстве Европы по боксу среди юниоров.

На чемпионате России 2018 года выиграл в своей весовой категории и стал двукратным чемпионом страны. В финале оказался сильнее серебряного призёра Евроигр-2019 и чемпионата Европы Габила Мамедова.
Тренерский штаб сборной России принял решение включить Альберта в состав сборной России на чемпионат мира 2019 года в Екатеринбурге. В 1/16 финала победил болгарина Бояна Асенова единогласным решением судей. В 1/8 финала победил аргентинца Мирко Куэлло единогласным решением судей. В четвертьфинале уступил кубинскому боксёру Ласаро Альваресу.